La importancia de los métodos aproximados de solución | Nuestraldea
Un espacio para informarte, conocer,
debatir, opinar
y aprender.
¿Quiénes somos?
Conformamos un equipo de profesionales y educadores dedicados a la educación. Este equipo está coordinado por la Magíster en educación Marta A. Tenutto (leer +)
Videos destacados

19/05/2011

La importancia de los métodos aproximados de solución

Por José Manuel Ruiz Socarras *

Tengo la impresión, en mis 20 años de trabajo como profesor, que generalmente los estudiantes menosprecian los métodos que conducen a la solución aproximada del problema. Y digo que tengo la impresión pues no conozco de estudios realizados al respecto.

Sin embargo no debemos culpar a los estudiantes por esa valoración ya que si calculamos el tiempo que se dedica a enseñarles métodos exactos de solución a lo largo de toda la enseñanza incluyendo la educación superior, obtendremos que el tiempo dedicado a la enseñanza de métodos aproximados es mínimo en comparación con el dedicado a métodos exactos, mientras que en la práctica ocurre por ejemplo que hay autores que señalan que sólo se pueden resolver por métodos exactos no más del 5 % de las ecuaciones diferenciales que se pueden presentar. Si a la contradicción anterior le sumamos que no siempre los profesores le demuestran a los estudiantes la importancia de los métodos aproximados, entonces el estudiante obviamente llega a pensar que lo más importante son los métodos exactos.

Sucede pues que se dedica mucho tiempo a estudiar gran cantidad de métodos llamados exactos que realmente resuelven un grupo pequeño de problemas, en lugar de dedicar más tiempo a estudiar métodos aproximados que aunque sean relativamente pocos en cantidad , pueden sin embargo aplicarse a un gran número de problemas.

Un ejemplo de problema que no puede ser resuelto por un método exacto es la búsqueda de las soluciones de ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro, lo cual fue demostrado por Galois (1811-1832) y sin embargo las ecuaciones de grado superior al cuatro aparecen con frecuencia en problemas técnicos y científicos, por ejemplo, en la aerodinámica aplicada, en el estudio de las condiciones de estabilidad de un avión, interviene una ecuación de octavo grado.

Hay que llevarle al estudiante la idea de que no solamente la mayoría de los problemas no pueden ser resueltos por métodos exactos, sino que existen también problemas cuya solución por un método exacto, aunque es posible, es más laboriosa y engorrosa que mediante la utilización de un método aproximado. Por ejemplo para la resolución de un sistema de ecuaciones lineales del tipo

Si se disponen de métodos exactos o directos como lo es la regla de Cramer, la gran cantidad de cálculos que se requieren para evaluar los determinantes, aunque el sistema sea de bajo orden, es mucho mayor que el número de operaciones que requiere por ejemplo un método aproximado como lo es el método de eliminación de Gauss, digamos que para n = 10 la aplicación de la regla de Cramer requiere aproximadamente 40 000 000 multiplicaciones, en tanto que el método de Gauss requiere aproximadamente 300 multiplicaciones y divisiones.

Estamos hablando de métodos exactos y Métodos aproximados, cuando lo correcto es hablar de Métodos analíticos y Métodos numéricos respectivamente, puesto que exacto hay muy poco en la vida. Digamos que cuando decimos que el largo de una mesa es de 4m. , esa medida no es exacta, pues ella incluye un cierto error, me refiero al error que introducen los ojos como órganos de la visión más el error del propio instrumento de medición que se use.

Cuando trabajamos con un sistema de ecuaciones lineales como modelo matemático de un circuito eléctrico para hallar los valores de la intensidad de la corriente, los coeficientes de las ecuaciones del sistema, son valores de las resistencias y los términos independientes son los valores de las fuentes de voltajes, ambos tipos de valores producto de ser obtenidos mediante mediciones llevan implícitos errores de los equipos de medición y de nuestros órganos de la vista, de ahí que el modelo matemático es aproximado, pero además el hecho de que sea un modelo ya encierra un determinado tipo de error, ya que todo modelo es ante todo una aproximación del objeto que modela, de lo contrario no sería un modelo. Lo que nos interesa entonces es encontrar un buen modelo, es decir una buena aproximación, o sea tratar de disminuir el error pero sin que deje de ser una aproximación pues en caso contrario no se trataría entonces de un modelo como método de investigación de la realidad objeto de estudio.

Tenemos pues que un modelo matemático es una aproximación, entonces al resolverlo por un mal llamado método exacto, la solución no puede ser tampoco exacta y mucho menos si tenemos en cuenta las operaciones de redondeo que hay que introducir al realizar operaciones aritméticas con los números que resultan, números que al ser también aproximados van propagando el error de cálculo. Vemos pues que no es lógico hablar de Métodos exactos ya que en ningún momento la solución que se obtiene es exacta.

Lo lógico es hablar de Métodos analíticos y de Métodos numéricos, estos últimos son agrupados en la disciplina matemática que se denomina Matemática Numérica o Matemática de Cálculo.

La Matemática Numérica se define como la teoría y la práctica del cálculo eficiente y la estimación del error de la solución aproximada. El adjetivo eficiente es una de las diferencias primarias entre la Matemática Numérica y el resto de la Matemática, pues en la Numérica no basta con solucionar el problema, sino que interesa también el tiempo que se necesita para obtener la solución y la estimación del error de la aproximación, de ahí que uno de sus objetivos es la elección del método más adecuado para la solución del problema. El resto de la Matemática no se ocupa de tal eficiencia.

Otra diferencia entre ambos tipos de Matemáticas está dada por la forma de la solución ya que generalmente los Métodos Numéricos dan la solución en forma numérica y el resto de la Matemática da la solución en forma analítica, o sea a través de funciones mientras que en la Matemática Numérica no se obtiene la expresión analítica de la función, sino valores aproximados de dicha función. Claro está que también existen Métodos Numéricos para hallar la forma aproximada de una función y aquí la solución no es numérica sino una expresión analítica pero aproximada.

Lo importante es pues no tanto buscar la solución exacta de un problema, sino la solución aproximada pero con la precisión requerida, o sea, con un error lo suficientemente pequeño y próximo a cero, de ahí la utilidad de los Métodos Numéricos.

Importa también el tiempo empleado en obtener la solución y en esto ha jugado un papel importante el enorme desarrollo de la tecnología computarizada, ya que la enorme velocidad actual de los medios computarizados de cómputo ha reducido considerablemente el tiempo de obtención de la solución, lo que ha motivado la popularidad, el enorme uso y aceptación que hoy en día tienen los Métodos Numéricos. Sumémosle a ello que las computadoras son capaces de dar la solución con la precisión requerida.

Aquí es bueno aclarar que no es correcto pensar que el desarrollo tecnológico computarizado es quien ha creado los Métodos Numéricos ya que los orígenes de la Matemática Numérica son muy antiguos, datan de miles de años atrás, cuando los babilonios, 2000 años a.n.e. construyeron tablas matemáticas y elaboraron efemérides astronómicas. Lo que sucede es que la mayoría de los Métodos Numéricos requieren de un enorme volumen de cálculo que los hacían engorrosos de utilizar y esta dificultad vino a eliminarse con el desarrollo de la computación, pero los Métodos Numéricos existen mucho antes de ella.

Y, para terminar, los dejo con dos problemas, el primero que no se resuelve por Matemática Numérica y el segundo que si se resuelve por ella para que ustedes, amigos lectores, lleguen a sus propias conclusiones de cuál de ellos es más frecuente en la práctica y sin embargo a cuál se le dedica más tiempo en la enseñanza.
Problema 1: Calcule el área bajo la curva y = f(x) conociendo la expresión analítica de la función f(x).
Problema 2: Calcule el área bajo la curva y = f (x) de la que no conocemos su expresión analítica sino solamente un número finito de valores que se han obtenido por medición, es decir, (x0,y0), (x1,y1), (xn,yn).

Bibliografía
_ Suárez Alonso, M.: (1986). Matemática Numérica. Primera y Segunda parte. Editorial Pueblo y Educación. Cuba.
_ Este artículo ha sido publicado en la Revista Axioma.
Año 4. No 18. Marzo/Abril 2002. p. 14-15. Argentina.

* Sobre el autor

M. Sc. José Manuel Ruiz Socarras
Universidad de Camagüey, Cuba
Email:jruiz@inf.reduc.edu.cu

4

4 comentarios.

  1. Kaycie comentó:

    I was really confused, and this answered all my qeustions.

  2. carlos comentó:

    I want to give thanks to you for this excellent read!! I definitely loved every little bit of it. I’ve you bookmarked your website to check out the new stuff you post.

  3. Cass comentó:

    I just wish to explain to you that I am especially new to blogging and essentially savored you happen to be website. Probably I’m very likely to bookmark your web site . You obviously have remarkable content pieces. Thank you a bunch for sharing with us your webpage.

  4. Alejandro Martínez Castellini comentó:

    Mis saludos, compañeros lectores:

    Casual y felizmente he encontrado este artículo: me ha resultado sumamente interesante y de gran actualidad. Sigue siendo una situaciómn problemática el que nos desgastemos desarrollando programas de asignaturas de Matemática en los que la prirodad la tengan los “métodos exactos”. Esto hasta nos trae problemas al seleccionar ejercicios para las clases prácticas o la elaboración de temarios de exámenes, ya que no acpetamos “números feos”, “expresiones feas”. Uno de los denominados principios didácticos de enseñanza-aprendizaje, el de vinculación de la teoría y la práctica, mucho se ve comprometido. La Matemática debe ser usada como instrumento de cognición y transformación de la realidad objetiva, y no como un océano de fórmulas y recetas.

    Saludos cordiales,
    Alejandro!

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos necesarios están marcados *

*

Puedes usar las siguientes etiquetas y atributos HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>